Figures sous MATLAB, partie 2

Voici une rapide mise à jour des commentaires que j'avais précédemment donnés pour obtenir des jolies figures sous MATLAB. Comme vous le savez probablement, les deux maux les plus courants durant l'export sont l'incohérence de la taille des polices (étiquettes, ou labels souvent microscopiques), et la mauvaise qualité à l'export en PNG. Je mets à la fin également un petit conseil pour améliorer la visibilité et l'esthétique des marqueurs.Continue reading →

Déménagement à Londres !

Suite à la fin de mon CDD de chercheur à Lyon depuis le 31 janvier, j'ai démarré un nouveau poste à l'Imperial College de Londres le 26 février dernier, dans le groupe de Valeria Garbin. Nous allons étudier les propriétés non-linéaires de matériaux mous à l'aide de bulles sous vibrations.

Très prochainement, nous allons également publier (avec nos collaborateurs Lyonnais) un fort intrigant résultat concernant le rhéoépaississement dans la maïzena !

Tracé spatio-temporel de la vitesse tangentielle, moyennée dans la direction du gradient de vitesse, en fonction de la direction de la vorticité (z) et du temps dans une suspension de fécule de maïs concentrée à 41%,  cisaillée au delà du seuil de rhéoépaississement (DST).

Article sur la solidification dirigée accepté !

Hourra ! Notre premier article sur la solidification dirigée a été accepté pour une publication à Langmuir. J'ai déjà parlé de ce sujet dans un précédent billet sur ce site. L'article accepté, quant à lui, s'intéresse de plus près au mécanisme collectif d'inclusion dans la glace des particules en suspension et construit un modèle permettant d'estimer des propriétés interfaciales à très petite échelle (par exemple, la constante de Hamaker) de notre système à partir d'une mesure quasi-macroscopique : la taille de la zone où les particules sont compactées.

Rhéoépaississement

Des matériaux mous et des liquides

Il existe plusieurs manières de décrire les matériaux mous (gels, élastomères, pâtes, mousses, suspensions, liquides, ...); leur description est généralement influencée par le parti pris - plutôt liquide, ou plutôt solide - que nous nous faisons du matériau en question. Nous allons dans cet article nous intéresser au caractère plutôt « liquide » de tels objets.

Les liquides les plus simples sont Newtoniens ; cela signifie qu'ils sont entièrement décrits par un paramètre appelé viscosité  \eta . Cette viscosité s'oppose au cisaillement du fluide, défini comme une déformation progressive des briques élementaires du fluide en des formes rhomboédriques (des parallélogrammes en trois dimensions) :

Cisaillement d'une tranche de fluide d'épaisseur e à un taux de cisaillement  \dot\gamma

Cisailler ces fluides à un certain taux de déformation  \dot \gamma nécessite l'application d'une force (les flèches violettes ici) sur les bords de notre brique élémentaire. La force surfacique à appliquer vaut alors  \tau , ce qui nous permet de définir  \eta :

 \eta = \displaystyle{\frac{\tau}{\dot\gamma}}

Cette description s'avère néanmoins limitée et ne permet de décrire que quelques liquides, généralement purs, et composé de petites molécules (eau, éthanol, glycérol, miel, huiles silicones, décane, ...).


Les liquides non-Newtoniens, des fluides complexes

De nombreux produits mous (mousses, shampooings, gel coiffant, boues, pâte à tartiner) présentent une viscosité qui n'est pas constante lorsque  \dot\gamma varie, ce qui demande une modélisation plus fine de tels matériaux. Ces fluides non-Newtoniens présentent un grand nombre de caractéristiques curieuses. L'une d'entre elles est l'effet Weissenberg, lié au caractère élastique en plus de purement visqueux de tels fluides.

Les fluides Non-Newtoniens peuvent être divisés en deux classes selon que leur viscosité  \eta augmente ou non lorsque le taux de cisaillement  \dot \gamma augmente. Nous allons nous intéresser aux fluides rhéoépaissisants : leur viscosité augmente donc avec  \dot \gamma . Un exemple très connu d'un tel comportement est celui de la Maïzena®, la fécule de maïs, lorsqu'elle est concentrée dans l'eau. Elle se comporte comme un fluide à bas taux de cisaillement, mais c'est une toute autre affaire lorsqu'on essaie de la brusquer !

Nous pouvons examiner à l'aide d'outils un peu plus reproductibles la réponse au cisaillement de maïzena concentrée (à 41 % en volume), en fonction de  \dot\gamma . La viscosité est loin d'être constante.

Rhéoépaississement de la Maïzena (r)

On observe en fait, aux alentours d'un taux de cisaillement précis (4-5 s^{-1} ) que la viscosité croît brutalement : la fécule de maïs se coince. Que se passe-t-il dans le fluide pour provoquer un effet si spectaculaire ? Pour cela, il faut aller examiner la structure à petite échelle de celle-ci. Les grains de fécule ressemblent à des petits cailloux irréguliers.


Deux modèles de rhéoépaississement

Jusque récemment, les scientifiques postulaient que lorsque des grains sont suspendus dans un liquide, ils sont toujours séparés les uns des autres par un film de liquide, parfois extrêmement fin [1], qui les empêche de frotter de manière solide les uns contre les autres. Le rhéoépaississement était alors expliqué par des paquets de particules très proches les unes des autres qui bougent en bloc (les hydroclusters) dans le fluide et gênent le déplacement du reste du fluide, faisant alors croître la viscosité globale du milieu.

Ce modèle idéalisé est battu en brèche ces dernières années au profit d'un autre modèle où les particules peuvent effectivement frotter de manière solide  lorsqu'elles sont comprimées suffisamment les unes contre les autres [2]. Leur principale objection théorique par rapport au modèle des hydroclusters est que le film liquide peut se rompre si les grains ne sont pas sphériques, en particulier s'ils sont rugueux.

Des simulations numériques effectuées par le groupe du Levich Institute (à New York) [3] ont également montré par des simulations numériques que l'ajout de cette friction décrit correctement l'augmentation spectaculaire et discontinue de viscosité observée dans la maïzena, en raison notamment de la prolifération importante des contacts entre grains au seuil du rhéoépaississement.


Un dernier argument dynamique

Une dernière expérience assoit la pertinence du modèle frictionnel par rapport au modèle des hydroclusters [4]. Un cisaillement est appliqué dans un sens, puis est brutalement renversé : on passe donc en un instant de  +\dot\gamma à  - \dot\gamma . Si l'on considère le modèle des hydroclusters, changer le sens de rotation n'induit pas grand chose, car les films très fins séparant les particules dans ces paquets mettront un temps très long à s'épaissir, ce qui ne provoquera que des changements de structure (et donc de viscosité) qu'après de très longs temps.

Au contraire, un régime transitoire très bref est observé au moment du changement du sens de cisaillement. Pendant ce bref laps de temps, les grains en contact, comprimés les uns contre les autres, peuvent enfin « relâcher » leur force de compression, ce qui fait brutalement diminuer la viscosité. Les grains du fluide seront ensuite réorganisés par l'écoulement, ce qui va à nouveau créer de la compression entre grains et des nouveaux contacts, jusqu'à atteindre la viscosité précédant le changement de rotation. L'article de Gadala Maria et Acrivos ainsi que des simulations numériques plus récentes [5]) confirment ce comportement.

De notre côté, à l'ENS de Lyon, nous nous intéressons à la dynamique du comportement de la Maïzena dans l'état rhéoépaissi : ce dernier semble très bruité et pourrait présenter des caractéristiques statistiques intéressantes. La forme de la courbe d'écoulement montrée plus haut n'est d'ailleurs pas encore tout à fait comprise, même si celle-ci ressemble à certaines transitions de phase du premier ordre.


Bibliographie

[1] N.J. Wagner, J.F. Brady,  "Shear thickening in colloidal dispersions", Physics Today, (2009)
[2] M. Wyart, M. Cates, "Discontinuous shear thickening without inertia in dense non-Brownian suspensions", Physical Review Letters (2014)
[3] R. Seto, R. Mari, J. Morris, M. Denn, "Discontinuous Shear Thickening of Frictional Hard-Sphere Suspensions", Physical Review Letters (2013)
[4] F. Gadala Maria, A. Acrivos, "Shear‐Induced Structure in a Concentrated Suspension of Solid Spheres", Journal of Rheology (1980)
[5] F. Peters, G. Ghigliotti, S. Gallier, F. Blanc, E. Lemaire, and L. Lobry, "Rheology of non-Brownian suspensions of rough frictional particles under shear reversal: A numerical study", Journal of Rheolgy (2016)

Vidéos pour présentations scientifiques

Les vidéos permettent de présenter des jeux de données complexes et dynamiques rapidement et clairement. Sauf qu'entre la mise en forme des images de la vidéos et l'inclusion de celle-ci dans une présentation, une foule de problème a tendance à survenir. La faute, sans doute, à de trop nombreux formats de compression, d'encapsulation de fichiers, et de liens symboliques hasardeux qui se perdent en chemin lors d'une copie vers une clé USB. Il existe toutefois des solutions permettant d'obtenir des vidéos de bonne qualité et de taille raisonnable en assurant une compatibilité avec le programme censé la lire (Powerpoint ou Adobe Reader, je n'utilise pas Keynote malheusement).


Faire une vidéo à partir d'une séquence d'images

ImageJ et MATLAB permettent de faire des films à partir respectivement d'un objet movie (une figure éventuellement animée) et d'une séquence d'images (stack). Malheureusement, il existe assez peu de paramètres permettant d'exporter la vidéo en question au format qui nous convient, et avec un choix sur la qualité de l'encodage. Pis, la taille des vidéos obtenues n'est pas toujours raisonnable.

Une alternative gratuite, multiplateforme, très efficace quoiqu'un peu austère (en ligne de commande) est ffmpeg. Il permet également d'encoder des séquences d'images ou de ré-encoder une vidéo de logiciels propriétaires pas forcément très aimables en une vidéo lisible par tous, pas trop grosse et de bonne qualité. Un appel classique à ffmpeg s'écrit :

./ffmpeg -i image_%03d.png [options] mavideo.mp4

Sous Windows, on se passera du ./, et on pensera à ajouter le dossier de ffmpeg aux variables d'environnement (PATH). L'option -i de ffmpeg spécifie le fichier, ou la liste de fichiers qui va être convertie en vidéo ; ici, avec des fichiers du type image_001.png, image_002.png, etc.

Jetons maintenant un œil aux principales options susceptibles de nous intéresser. Ralentir une vidéo s'effectue en utilisant un filtre vidéo, avec un syntaxe du type (ici, pour un ralentissement d'un facteur 3) :

-filter:v "setpts=3*PTS"

Il est possible de changer la taille de la vidéo (ici, pour forcer une taille de 572x946 pixels)

-s 572x946

La qualité de la vidéo se change en utilisant l'option -qscale (allant de 1, sans perte, à 31, plus mauvaise qualité, 18 étant déjà excellent) :

-crf 18

Une foule d'autres options existent pour ce logiciel et sont généralement bien expliquées sur le Wiki de ffmpeg.


Compatibilité avec les présentations Powerpoint

J'utilise deux logiciels pour mes présentations scientifiques : Microsoft PowerPoint ® et Adobe Reader CC ®. Le premier logiciel, depuis sa version 2013, est compatible avec le codec par défaut de ffmpeg et l'intégration des vidéos est donc transparente. Pour une version Powerpoint 2010, il faut passer par le codec Xvid, plus ancien :

./ffmpeg -i image_%03d.png -c:v libxvid -q:v 4 video.avi

Le codec produit alors un fichier .avi, et est malheureusement moins efficace que le codec natif de ffmpeg. Cette fois-ci, la qualité de la vidéo se règle avec la commande -q:v.


Le cas Adobe Reader / Beamer

Pour les versions d'Adobe Reader supérieures à 9 (et donc, Adobe Reader CC), et si vous faites vos présentations en utilisant Beamer, il est possible d'inclure des vidéos directement dans les fichiers PDF. Pour cela, il faut inclure le paquet media9 dans votre préambule :

\documentclass[...]{beamer} 
[...]
\includepackage{media9}
[...]
\begin{document}

Vous pouvez ensuite vous servir du paquet pour inclure des fichiers multimédia dans vos présentations (cela inclut également des animations 3D, ou des liens vers des flux Youtube). J'utilise généralement la macro suivante :

\newcommand{\addvideo}[3]{
% Macro to add video : 
% Argument 1 : video source location
% Argument 2 : image preview file location
% Argument 3 : width of video
\begin{center}
    \includemedia
    [
        width  = {#3}, addresource = {#1},               %Inclut le fichier source dans le fichier pdf
        flashvars = {src=#1 & scaleMode = letterbox}     % Appelle le fichier source dans le lecteur 
    ]
    {\includegraphics[width = {#3}]{#2}}{StrobeMediaPlayback.swf} % Arg #2 is used as preview image        
\end{center}
}

Si vous voulez inclure votre vidéo préférée video.mp4 avec une image d'exemple image_exemple.png quand la vidéo n'est pas lancée, le tout avec une largeur de 8cm, cela donne donc une commande LaTeX du style :

\addvideo{video.mp4}{image_exemple.png}{8cm}

La vidéo est alors incluse dans le fichier PDF, et il n'est plus nécessaire de la copier avec la présentation.

Dernier point : à cause d'un léger problème de compatibilité du côté d'Adobe, les vidéos que vous créerez devront être encodées avec un espace de couleurs spécifique, obtenu en rajoutant l'option suivante :

./ffmpeg -i image_%03d.png -pix_fmt yuv420p video.mp4

Il faut également noter que l'espace colorimétrique obtenu (le pixel format) n'admet que des tailles de vidéo (472x276, 800x600, etc.) paires.

Faire des figures sous MATLAB

MATLAB (ou Octave) est un outil efficace pour traiter des larges quantités de données de formats disparates. Contrairement à Octave, MATLAB n'a pas de sortie Gnuplot et doit donc se débrouiller tout seul pour exporter ses figures. Par défaut, le résultat n'est pas toujours satisfaisant.

Tracés par défaut de MATLAB. Pas mauvais, pas top.
Tracés par défaut de MATLAB. Pas mauvais, pas top.

Taille d'image et de police

Réussir à obtenir la taille de police et d'image (que ce soit en format vectoriel ou matriciel) relève parfois du parcours du combattant. En fait, il faut d'abord se munir d'une information essentielle au document .tex, la largeur du texte (ou de la colonne), qui s'obtient en insérant dans son code TeX les lignes suivantes :

\the\columnwidth
\the\textwidth

Pour mes articles scientifiques, \textwidth donne 510.0pt. Il faut alors recopier la valeur dans plusieurs paramètres de la figure de MATLAB pour que celle-ci daigne faire la bonne taille : paperposition, paperwidth, et paperunits :

set(gca, 'fontsize', 12);
set(gcf, 'paperunits'   , 'points',          'position', [100 100 510 300], ...
         'paperposition', [100 100 510 300], 'papersize', [510 300]);

qui va donc bien imposer une taille de police de 12 points sur une figure qui en fait 510 de large. Depuis la version 2014b, il semble également que la taille des images matricielles (.png par exemple) respecte également ces tailles. Hourra ! N'oubliez pas de spécifier l'argument paperunits avant papersize au risque de tout mettre à une échelle gigantesque.


Accord de polices légende / texte

MATLAB (> R2014b) arrive maintenant à mettre les chiffres des axes en LaTeX. Hourra !

set(gca, 'TickLabelInterpreter', 'latex');

Symboles

Je ne suis pas fan des marqueurs de MATLAB depuis la R2014b. Traçons :

plot([1 2 3 4 5 6], [1.1 1.0 1.05 0.95 1.0 0.98], 'o')

puis exportons le résultat en .pdf :

Symbole circulaire chez MATLAB. Archimède ne serait pas super content.
Symbole circulaire chez MATLAB. Archimède ne serait pas super content.

Je ne sais pas comment résoudre ce souci directement sous MATLAB pour le moment.


qTikZ / matlab2TikZ

Si vous voulez des fichiers .pdf plus propres, qui permettent une belle homogénéité de vos documents et pas trop d'imprévus, vous pouvez utiliser :

  • matlab2TikZ, qui convertit les fichiers .fig en fichiers .tex
  • qTikZ, un éditeur qui compile en temps réel vos figures et permet un export en .pdf sans marges inutiles.

L'édition en TikZ/pgfplots donne d'excellents résultats. Quelques petits détails (souvent également présents sous MATLAB) sont parfois à régler (notations scientifiques un peu envahissantes, échelles de couleurs à re-préciser, ...) mais le résultat est assez confortable. La gestion de la taille des polices est également plus naturelle. Les cercles sont bien des cercles.

Sortie par défaut de QTikZ
Sortie par défaut de QTikZ

Addendum sur les échelles de couleur

Les échelles de couleur (colormaps) permettent de visualiser des données à deux (voire plus) dimensions aisément, en transformant des grandeurs scalaires en couleurs normalisées par une échelle. Malheureusement, les échelles par défaut, notamment jet, sont assez communément haïes pour leurs imperfections. Parula, depuis MATLAB R2014b, fait un excellent travail même si celle-ci n'est pas libre de droits. Viridis est une alternative libre à celle-ci, qui possède l'avantage d'être bien lisible pour les daltoniens. Cbrewer est également un petit script permettant de construire quelques colormaps pratiques.

Effets de bord en solidification dirigée

La solidification dirigée consiste à appliquer un gradient de température dans un matériau ou un fluide et à déplacer ce gradient par rapport à l'échantillon en question. On peut déplacer pour cela un échantillon dans un gradient fixe, ou bien déplacer le gradient (i.e. réduire la température globale) avec un échantillon fixe. Le premier cas est celui de notre expérience, le second étant plus représentatif de ce qui est vu dans l'industrie (fusion de zone) et la nature (cycles de gel/dégel des sols, pingos),  même s'ils sont strictement équivalents d'un point de vue physique.

Dans le cas particulier où la phase à solidifier est en fait double (une suspension), des particules sont emprisonnées dans la glace en régime stationnaire ; leur localisation va alors dépendre du motif de la phase qui a gelé. C'est le concept d'ice-templating, permettant de structurer des matériaux après évaporation de la matrice de glace.

En deçà de la vitesse critique d'apparition des motifs de solidification, le front eau-glace est plan. Dans un tel cas, la répartition des particules de la suspension dans la phase gelée est mal comprise. Notre expérience se présente ainsi :

Montage expérimental. De haut en bas: état initial, état stationnaire où le moteur a avancé, zoom entre les plaques à proximité de l'isotherme 0°C.
Montage expérimental. De haut en bas: état initial, état stationnaire où le moteur a avancé, zoom entre les plaques à proximité de l'isotherme 0°C.

Le moteur (à gauche) pousse un porte-échantillon (constitué de deux plaques de verre séparées par des espaceurs) dans un gradient de température. Une caméra vient observer l'échantillon dans la zone située entre le four chaud et le four froid, ce qui permet d'observer l'isotherme 0°C à tout instant.


Modèles en volume

Nous avons vu expérimentalement que la glace expulse les particules en gelant, formant un bourrelet. Celui-ci peut exister au delà de 0°C. Dans une telle situation, et dans le référentiel des plaques de verre, le fluide doit être continuellement amené à la frontière à un flux proportionnel à V afin que la position de la limite eau/glace reste constante (régime permanent). Cette eau doit alors traverser le matériau poreux qu'est le bourrelet dans lequel un écoulement de Darcy va naître. Le bourrelet cesse de croître quand le différentiel de pression induit par cet écoulement est égal à la différence de potentiel chimique entre la phase liquide et la glace.

Avec ce raisonnement simple, les bourrelets formés sont bien trop longs par rapport aux  observations expérimentales. Autrement dit, les canaux de l'écoulement de Darcy formés par les interstices entre particules sont trop gros (pour des particules de l'ordre de 300 nm). Un raffinement de ce modèle propose que ces interstices sont partiellement gelés, ce qui permet de retrouver (avec un paramètre ajustable) une taille de bourrelet raisonnable. Cette affirmation est confirmée par le fait que la température mesurée au niveau du front liquide/glace est bien en deçà de 0°C, ce qui permet le gel même dans des petits interstices.

Dans notre expérience, nous utilisons des particules plus grosses (d = 3μm) qui laissent des interstices plus grands et devraient donc présenter des bourrelets gigantesques. Cela n'est pas le cas. Nous avons observé dans notre cas que le bourrelet ne change pas d'aspect quand celui-ci est dégelé, puis regelé, ce qui suggère une absence de gel interstitiel partiel. Un paramètre physique supplémentaire a donc été oublié dans le raisonnement.


L'effet des bords du système

Le gradient de pression exercé sur le bourrelet peut éventuellement être transmis aux plaques par isotropisation des contraintes solides (c'est le modèle de Janssen). L'équilibre d'une tranche de bourrelet montre alors une rapide explosion (exponentielle) des frottements aux parois ainsi que des contraintes de compression solide en fonction de la taille du bourrelet. C'est ce qui rend, dans la vie courante, la vie difficile à ceux qui mettent trop de café dans leur cafetière à piston. L'analyse dimensionnelle montre que la longueur caractéristique de l'exponentielle obtenue vaut

\xi = \frac{e}{2 \mu K},

\mu étant le coefficient de frottement de Coulomb, K la constante d'isotropisation des contraintes (qui est de l'ordre de 1 dans notre cas) et e l'épaisseur entre nos plaques.

Nous devrions donc voir un très net effet de l'épaisseur de l'échantillon sur l'épaisseur du bourrelet à l'équilibre, ce qui est effectivement visible expérimentalement.

Taille du bourrelet (h) en fonction de la hauteur de l'échantillon (e) pour diverses vitesses de solidification.
Taille du bourrelet (h) en fonction de la hauteur de l'échantillon (e) pour diverses vitesses de solidification.

Nous travaillons actuellement sur la description microscopique des critères d'admission des particules dans la phase solide ainsi que sur des éventuelles explications quant à la nature texturée du bourrelet.

L'écoulement de von Kármán

L'écoulement de von Kármán (à ne pas confondre avec l'allée de tourbillons du même Théodore von Kármán) est produit par la rotation de deux disques qui se font face dans un cylindre rempli de fluide. Lorsque les disques sont munis de pales, et que le fluide est peu visqueux (eau), l'entraînement inertiel du fluide produit une turbulence intense à hauts nombres de Reynolds.

von Karman flow, seeded with bubbles. The two impellers (in black) are visible.
Écoulement de von Kármán, ensemencé avec des bulles. Les deux disques munis de pales (en noir) sont visibles.

Un tel écoulement a été utilisé pour étudier des propriétés fondamentales de la turbulence, notamment afin de tester la portée de l'hypothèse de restauration des symétries des écoulements turbulents. Malgré leur nature instantanée très aléatoire, il semblerait en effet que statistiquement, et à petite échelle, les écoulements turbulents respectent les symétries que le forçage leur impose. L'écoulement étudié ici pose la question suivante :

Les propriétés de restauration statistique des symétries des écoulements turbulents s'appliquent-elles également statistiquement aux grandes échelles ?

Un résultat important à ce sujet a été obtenu par Florent Ravelet, Louis Marié, Arnaud Chiffaudel et François Daviaud. Ces derniers ont montré que l'écoulement conservait une mémoire aux grandes échelles qui permet à l'écoulement de rester statistiquement dans une configuration asymétrique malgré un retour à un forçage symétrique. L'écoulement présente une hystérèse statistique.

Ainsi, lorsque les turbines tournent à des fréquences imposées f_1 en bas et f_2 en haut identiques, il est possible d'imposer f_1 = f_2, et donc d'avoir un forçage symétrique par renversement de l'expérience, mais d'obtenir écoulement qui restera indéfiniment orienté vers l'une des turbines. Une analogie avec les systèmes ferromagnétiques nous permet de montrer la forme du cycle obtenu lorsque f_1 et f_2 sont modifiés.

Pour les hauts nombres de Reynolds, les paramètres sans dimension pertinents sont :

\theta = \frac{f_1-f_2}{f_1 + f_2}

et la différence réduite de couple entre turbines :

\gamma = \frac{C_1-C_2}{C_1 + C_2}

Le cycle a alors la forme suivante :

VK_gth
Cycle d'hystérèse des états statistiques moyens de l'écoulement de von Karman. Carrés noirs, états à fréquence de rotation imposée. Cercles, états à couple imposé.

Le cycle existant à fréquence de rotation imposée permet donc bien de faire survivre plusieurs états pour une différence de rotation \theta donnée, notamment en 0. Le cycle complet, obtenu en balayant \theta de -1 à 1, montre l'existence de trois branches, dont une branche centrale métastable, entre lesquelles une gamme de couples \gamma est interdite.

Durant ma thèse, je me suis intéressé à la possibilité d'imposer le couple C_1 et C_2 aux turbines afin d'étudier la dynamique de l'écoulement dans la gamme interdite. Ces états obtenus lorsque nous imposons \gamma autorisent des fluctuations éventuellement importante de la vitesse de rotation des turbines. Une sélection d'expériences effectuées en commande en couple confirme cette intuition.

Séries temporelles de l'évolution de la fréquence de rotation des turbines à couples imposés. Turbine du bas : couleurs sombres. Turbine du haut : couleurs claires. Échelle de couleurs similaire au cycle d'hystérèse.
Séries temporelles de l'évolution de la fréquence de rotation des turbines à couples imposés. Turbine du bas : couleurs sombres. Turbine du haut : couleurs claires. Échelle de couleurs similaire au cycle d'hystérèse.

L'étude des propriétés statistiques de l'écoulement aux temps (relativement) longs et aux grandes échelles a fait l'objet de plusieurs publications. D'autres propriétés statistiques de l'écoulement induites par le changement de sens de rotation des turbines a fait également l'objet de plusieurs publications (Pierre-Philippe Cortet et al., New Journal of Physics, 2011).

L'étude des processus de dissipation élémentaires dans l'écoulement a fait l'objet d'une thèse (celle de Denis Kuzzay) et est au centre de l'expérience SHREK (qui fait la même chose que chez nous, mais dans l'hélium liquide !)

Gels de caséine

 Dans le cadre de notre collaboration avec l'équipe de G. H. McKinley et de M. Leocmach, nous nous intéressons à la réponse de gels de caséinate de sodium à un cisaillement oscillant. L'analyse locale du déplacement du gel nous permet d'obtenir notamment des courbes de Lissajous locales qui nous montrent bien une réponse homogène !

Lissajous-Bowditch curves (local Lissajous-Bowditch, thin coloured lines obtained using LORE) of a 6% caseinate gel under an oscillatory stress of 180 Pa.
Courbes de Lissajous-Bowditch  (courbes locales fines en dégradé de couleur obtenues par échographie) d'un gel de 6% de caséinate de sodium sous cisaillement oscillant \sigma_{\rm pp} = 180 Pa.

L'analyse de la forme des courbes de Lissajous nous renseigne sur la nature (strain-hardening ou softening) de tels gels. Nous cherchons actuellement à développer une prédiction de la rupture de tels gels à partir de l'analyse harmonique non-linéaire de la déformation. Une publication est en cours à ce sujet !