L'écoulement de von Kármán

L'écoulement de von Kármán (à ne pas confondre avec l'allée de tourbillons du même Théodore von Kármán) est produit par la rotation de deux disques qui se font face dans un cylindre rempli de fluide. Lorsque les disques sont munis de pales, et que le fluide est peu visqueux (eau), l'entraînement inertiel du fluide produit une turbulence intense à hauts nombres de Reynolds.

von Karman flow, seeded with bubbles. The two impellers (in black) are visible.
Écoulement de von Kármán, ensemencé avec des bulles. Les deux disques munis de pales (en noir) sont visibles.

Un tel écoulement a été utilisé pour étudier des propriétés fondamentales de la turbulence, notamment afin de tester la portée de l'hypothèse de restauration des symétries des écoulements turbulents. Malgré leur nature instantanée très aléatoire, il semblerait en effet que statistiquement, et à petite échelle, les écoulements turbulents respectent les symétries que le forçage leur impose. L'écoulement étudié ici pose la question suivante :

Les propriétés de restauration statistique des symétries des écoulements turbulents s'appliquent-elles également statistiquement aux grandes échelles ?

Un résultat important à ce sujet a été obtenu par Florent Ravelet, Louis Marié, Arnaud Chiffaudel et François Daviaud. Ces derniers ont montré que l'écoulement conservait une mémoire aux grandes échelles qui permet à l'écoulement de rester statistiquement dans une configuration asymétrique malgré un retour à un forçage symétrique. L'écoulement présente une hystérèse statistique.

Ainsi, lorsque les turbines tournent à des fréquences imposées en bas et en haut identiques, il est possible d'imposer , et donc d'avoir un forçage symétrique par renversement de l'expérience, mais d'obtenir écoulement qui restera indéfiniment orienté vers l'une des turbines. Une analogie avec les systèmes ferromagnétiques nous permet de montrer la forme du cycle obtenu lorsque et sont modifiés.

Pour les hauts nombres de Reynolds, les paramètres sans dimension pertinents sont :

et la différence réduite de couple entre turbines :

Le cycle a alors la forme suivante :

VK_gth
Cycle d'hystérèse des états statistiques moyens de l'écoulement de von Karman. Carrés noirs, états à fréquence de rotation imposée. Cercles, états à couple imposé.

Le cycle existant à fréquence de rotation imposée permet donc bien de faire survivre plusieurs états pour une différence de rotation donnée, notamment en 0. Le cycle complet, obtenu en balayant de -1 à 1, montre l'existence de trois branches, dont une branche centrale métastable, entre lesquelles une gamme de couples est interdite.

Durant ma thèse, je me suis intéressé à la possibilité d'imposer le couple et aux turbines afin d'étudier la dynamique de l'écoulement dans la gamme interdite. Ces états obtenus lorsque nous imposons autorisent des fluctuations éventuellement importante de la vitesse de rotation des turbines. Une sélection d'expériences effectuées en commande en couple confirme cette intuition.

Séries temporelles de l'évolution de la fréquence de rotation des turbines à couples imposés. Turbine du bas : couleurs sombres. Turbine du haut : couleurs claires. Échelle de couleurs similaire au cycle d'hystérèse.
Séries temporelles de l'évolution de la fréquence de rotation des turbines à couples imposés. Turbine du bas : couleurs sombres. Turbine du haut : couleurs claires. Échelle de couleurs similaire au cycle d'hystérèse.

L'étude des propriétés statistiques de l'écoulement aux temps (relativement) longs et aux grandes échelles a fait l'objet de plusieurs publications. D'autres propriétés statistiques de l'écoulement induites par le changement de sens de rotation des turbines a fait également l'objet de plusieurs publications (Pierre-Philippe Cortet et al., New Journal of Physics, 2011).

L'étude des processus de dissipation élémentaires dans l'écoulement a fait l'objet d'une thèse (celle de Denis Kuzzay) et est au centre de l'expérience SHREK (qui fait la même chose que chez nous, mais dans l'hélium liquide !)

Gels de caséine

 Dans le cadre de notre collaboration avec l'équipe de G. H. McKinley et de M. Leocmach, nous nous intéressons à la réponse de gels de caséinate de sodium à un cisaillement oscillant. L'analyse locale du déplacement du gel nous permet d'obtenir notamment des courbes de Lissajous locales qui nous montrent bien une réponse homogène !

Lissajous-Bowditch curves (local Lissajous-Bowditch, thin coloured lines obtained using LORE) of a 6% caseinate gel under an oscillatory stress of 180 Pa.
Courbes de Lissajous-Bowditch  (courbes locales fines en dégradé de couleur obtenues par échographie) d'un gel de 6% de caséinate de sodium sous cisaillement oscillant = 180 Pa.

L'analyse de la forme des courbes de Lissajous nous renseigne sur la nature (strain-hardening ou softening) de tels gels. Nous cherchons actuellement à développer une prédiction de la rupture de tels gels à partir de l'analyse harmonique non-linéaire de la déformation. Une publication est en cours à ce sujet !

Remise en suspension dans les fluides non-Newtoniens

Nous utilisons la mesure de concentration locale afin de déterminer les effets de migration et de remise en suspension des fluides non-Newtoniens cisaillés. Nous avons tout d'abord comparé notre technique à une simple visualisation des particules sédimentant dans un fluide Newtonien. Nous avons vérifié les résultats obtenus par l'équipe d'A. Acrivos concernant la hauteur du tas sédimenté. Nous avons ensuite étudié la sédimentation sous cisaillement et la remise en suspension de particules dans des mélanges non-Newtoniens (eau-guar, eau-Flopaam). Des effets élastiques originaux se manifestent en deçà du seuil d'instabilité élastique du fluide sous la forme d' « ondulations » du tas sédimenté. Cette ondulation est corrélée à un fort glissement du tas sédimenté qui, à certaines occasions, s'arrête brusquement. Nous sommes actuellement en train d'étudier les mécanismes à l’œuvre lors de ces événements de stick-slip et les paramètres (forces normales, seuils d'instabilité ou de turbulence élastique, caractère rhéo-fluidifiant) gouvernant l'efficacité de la remise en suspension dans les fluides non-Newtoniens.

Flopaam Sediment under shear (100 1/s).
Sédiment de Flopaam sous cisaillement ( = 100 1/s).

LORE et mesure de concentration

Nous avons développé deux mesures originales basées sur l'échographie ultrasonore dans les suspensions. Nous ajoutons des traceurs dans des fluides Newtoniens ou non-Newtoniens en faible concentration afin de ne pas influer sur les propriétés rhéologiques du milieu. Ces traceurs vont venir rétro-diffuser les impulsions ultrasonores émises à des intervalles de temps réguliers ; le signal de pression de chacune de ces rétro-diffusions, appelé speckle, est enregistré pour une utilisation ultérieure.

Notre transducteur ultrasonore permet d'obtenir des images dans un plan vertical passant par le centre de la cellule de Couette. La phase du speckle et son intensité permettent de remonter à la concentration locale en particules ainsi qu'à leur vitesse, et s'utilise à taux de cisaillement imposé ou en régime oscillatoire qui peut être synchronisée aux mesures rhéologiques standard (la technique s'appelle alors LORE).

LORE-response
Analyse du déplacement local d'un fluide Newtonien (mélange eau-UCON ) mis sous oscillation à 0.1 Hz. Le décalage de entre contrainte et déformation est typique d'un fluide Newtonien.